与えられる正の整数 $N$ 以下の回文数の個数を数えてください。
先行ゼロを考慮しなくてすむように、桁数ごとに独立して考えることにする。
与えられる数 $N$ が $n$ 桁だったとする。
一桁以上 $n$ 桁未満の回文数は全て数える必要があって、
ちょうど $k$ 桁の回文数を全て数えると $\displaystyle d = \mathrm{floor}\left(\frac{k-1}{2}\right)$ として $9 \times 10^{d}$ 個になる。
ちょうど $n$ 桁で $N$ 以下の回文数の個数は桁 DP で解くことができて、
桁の数字を上から決めたときに同時に下からも決まるので、未満 / 丁度 / 超過の状態遷移を上からと下からの両方で管理する。参考: 超過状態を考慮する桁DP
上から半分の桁を見終わったとき、
上からの状態が「未満」なら下からは「未満」「丁度」「超過」の全ての状態を受け入れ、
上からの状態が「丁度」なら下からは「未満」と「丁度」を受け入れればいい。
上からの状態が「超過」のときは不要なので、途中で枝刈りすることができるし、
上からの状態は一般的な桁DPで使われる未満フラグ（未満か丁度かを表わすフラグ）でもいい。
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
using i64 = int64_t;
constexpr int mod0 = 1'000'000'000,
mod1 = 1'000'000'007;
int cmp(int x, int y) {
if(x < y) { return 0; }
if(x == y) { return 1; }
return 2;
}
i64 f(const string &s, int mod) {
// dp[未満/丁度/超過 上から][未満/丁度/超過 下から] := パターン数
int n = static_cast<int>(s.size());
vector<vector<i64>> dp(3, vector<i64>(3, 0)), ndp;
dp[1][1] = 1;
for(int i=0; i<=n-1-i; ++i) {
ndp.assign(3, vector<i64>(3, 0));
for(int state0=0; state0<3; ++state0) {
for(int state1=0; state1<3; ++state1) {
if(!dp[state0][state1]) { continue; }
for(int d=(i==0); d<10; ++d) { // ちょうど n 桁にする
int nstate0 = state0,
nstate1 = cmp(d, s[n-1-i]-'0');
if(nstate0 == 1) { nstate0 = cmp(d, s[i]-'0'); }
if(nstate1 == 1) { nstate1 = state1; }
if(nstate0 == 2) { continue; }
ndp[nstate0][nstate1] += dp[state0][state1];
ndp[nstate0][nstate1] %= mod;
}
}
}
swap(dp, ndp);
}
i64 res = 0;
for(int state1=0; state1<3; ++state1) {
res += dp[0][state1];
res %= mod;
}
for(int state1=0; state1<2; ++state1) {
res += dp[1][state1];
res %= mod;
}
return res;
}
vector<i64> p10;
i64 solve(const string &s, int mod) {
int n = static_cast<int>(s.size());
p10.assign(n+5, 0);
p10[0] = 1;
for(int i=0; i<n; ++i) {
p10[i+1] = p10[i] * 10 % mod;
}
i64 res = f(s, mod);
for(int k=1; k<n; ++k) {
i64 val = p10[(k-1)/2] * 9 % mod;
res += val;
res %= mod;
}
return res;
}
int main(void) {
string s; cin >> s;
i64 res0 = solve(s, mod0),
res1 = solve(s, mod1);
cout << res0 << '\n' << res1 << '\n';
return 0;
}
(ΦωΦ)＜おしまい