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yukicoder No.787「Mice and Traitors(ネズミ達と裏切り者)」
全体における裏切り者の割合が $p$ で、裏切り者かどうかを判定する検査の正確性が $q$ であるとき、
検査で裏切り者だと判定された人が実際に裏切り者である確率を求めてください。

癌の罹患率とかを題材にして大学入試に出そうなアレ。

状況は以下の四つに分類できる。
事実判定
(A)裏切り者 裏切り者
(B)裏切り者 裏切り者 っぽくない
(C)裏切り者 でない裏切り者
(D)裏切り者 でない裏切り者 っぽくない

問題文から分かるのは、 である。

よって
全事象のうち (A) である確率は $p \times q$ であり、
全事象のうち (C) である確率は $(1-p) \times (1-q)$ である。

(A) か (C) であることが確定しているときに (A) である確率を求めるので、答えは
$\displaystyle \frac{(A)}{(A) + (C)} = \frac{p \times q}{p \times q + (1-p) \times (1-q)}$
である。

(ΦωΦ)＜おしまい