$A_{1} + 2 \times A_{2} + \cdots + (p-1) \times A_{p-1}$ を計算するときに、係数の $1, 2, 3, \cdots, p-1$ が邪魔になる。ここで、
- $1/p$ が $p-1$ 桁の循環節を持つ循環小数のとき、$p$ は原始根に $10$ を持つ。
- 原始根の定義から、$10, 10^{2}, \cdots, 10^{p-1}$ の $p$ での剰余は全て異なり、$1, 2, 3, \cdots, p-1$ がひとつずつ現れる。
ということが分かる（あるいは知っている）と、
係数の $1$ から $p-1$ を $10$ の羃に変えてやることで、先行ゼロを認める $p-1$ 桁の十進数 $A_{1}A_{2} \cdots A_{p-1}$ と見なすことができる。
つまり、$0$ 以上 $10^{p-1}$ 未満の整数のうち、$p$ で割った余りが $k$ となるようなものの個数を $\bmod{10^{9} + 7}$ で求めよ、という問題になる。
(ΦωΦ)＜おしまい